Teorie chaosu: Jaký je rozdíl mezi chaotickým chováním a náhodným chováním?


Odpověď 1:

Povídka je následující. Náhodné chování je nedeterministické: i kdybyste věděli všechno, co lze o systému vědět v daném čase v dokonalém detailu, stále byste nebyli schopni předpovědět stav v budoucnu. Chaotické chování je naopak zcela deterministické, pokud znáte počáteční stav v dokonalých detailech, ale jakákoli nepřesnost v počátečním stavu, bez ohledu na to, jak malá, s časem rychle roste (exponenciálně).

Náhodné systémy

Hodiny mincí nebo loterie jsou příklady náhodných systémů [*]. Můžete hodit mincí milionkrát, znát výsledek pokaždé, ale nepomůže vám to předpovědět výsledek příštího hodu. Podobně můžete znát celou historii čísel, která vyhrála v loterii, ale nepomůže vám vyhrát v loterii. (Pokud to zní překvapivě, podívejte se na Gamblerův klam.)

[*] Mám na mysli idealizované systémy, kde se projevuje náhodnost.

Itsimportanttopointout,however,thatrandomsystemsarenotnecessarilycompletelyunpredictable.Take,forexample,aGaussianrandomwalk,inwhichaparticlespositionisupdatedateverytimestepbyasmalldisplacementinarandomdirection,withmagnitudedrawnfromaGaussiandistributionwithstandarddeviationσ.Whileitsimpossibletoexactlypredictwheretheparticlewillbeafter[math]n[/math]steps,itispossibletoshowthat,withhighprobability,itwontbemuchfartherthan[math]σn[/math].If[math]σ[/math]issmall,thismightmeanthatyouactuallycanpredictwheretheparticlewillbewithhighaccuracy,despitetherandomnessofthesystem.It's important to point out, however, that random systems are not necessarily completely unpredictable. Take, for example, a Gaussian random walk, in which a particle's position is updated at every time step by a small displacement in a random direction, with magnitude drawn from a Gaussian distribution with standard deviation \sigma. While it's impossible to exactly predict where the particle will be after [math]n[/math] steps, it is possible to show that, with high probability, it won't be much farther than [math]\sigma \sqrt n[/math]. If [math]\sigma[/math] is small, this might mean that you actually can predict where the particle will be with high accuracy, despite the randomness of the system.

Aby to bylo intuitivnější, představte si, jak se snaží najít opilce. O půlnoci opustil bar a vy ho hledáte o hodinu později. Protože je opilý, jde bezcílně a nebudete vědět, kde přesně je. S vědomím, že chodí rychlostí jednoho kroku za sekundu, a za předpokladu, že je každý krok učiněn novým, zcela náhodným směrem, víte, že po jedné hodině nemůže být o mnoho dále než 60 kroků (možná sto nohy) od místa, kde odešel.

Chaotické systémy

Oneoftheusualexamplesofchaoticbehavioristhelogisticmap.Thestateofasystemisrepresentedbyanumberxwhichevolvesindiscretetimesteps.Ateachstep,thestateischangedaccordingto[math]xn+1=rxn(1xn).[/math]Forsomevaluesof[math]r[/math],thebehaviorof[math]xn[/math]isrelativelysimple:forlarge[math]n[/math],[math]xn[/math]willoscillatebetweenafinitesetofvalues.However,formostvaluesof[math]r[/math]beyondabout3.57,thefinalbehaviorofthesystemisextremelydependentoninitialconditions.Thisbehaviorissummarizedinabifurcationdiagram,whichlookslikethisforthelogisticmap:One of the usual examples of chaotic behavior is the logistic map. The state of a system is represented by a number x which evolves in discrete time steps. At each step, the state is changed according to[math]x_{n+1} = r x_n (1-x_n)\,.[/math]For some values of [math]r[/math], the behavior of [math]x_n[/math] is relatively simple: for large [math]n[/math], [math]x_n[/math] will oscillate between a finite set of values. However, for most values of [math]r[/math] beyond about 3.57, the final behavior of the system is extremely dependent on initial conditions. This behavior is summarized in a bifurcation diagram, which looks like this for the logistic map:

(z Wikipedie)

Thisshowswherexmightendupafteralargenumberofstepsasafunctionof[math]r[/math].Asyoucansee,whileforsmall[math]r[/math],thereareonlyacoupleofasymptoticvaluesfor[math]x[/math],for[math]r[/math]around3.6andlarger,[math]x[/math]canbeallovertheplace.This shows where x might end up after a large number of steps as a function of [math]r[/math]. As you can see, while for small [math]r[/math], there are only a couple of asymptotic values for [math]x[/math], for [math]r[/math] around 3.6 and larger, [math]x[/math] can be all over the place.

Adifferentwaytolookatthisisthefollowing.Belowisaplotshowingthevaluesofxnfortwostartingvalues,[math]x0(1)=0.40[/math]and[math]x0(2)=0.41[/math],for[math]r=3.5[/math].Thevaluesforthefirstsequence(startingwith0.40)areplacedonthe[math]x[/math]axis,whilethevaluesforthesecondsequence(startingwith0.41)areplacedonthe[math]y[/math]axis.Theresapointforevery[math]n[/math].A different way to look at this is the following. Below is a plot showing the values of x_n for two starting values, [math]x_0^{(1)} = 0.40[/math] and [math]x_0^{(2)} = 0.41[/math], for [math]r = 3.5[/math]. The values for the first sequence (starting with 0.40) are placed on the [math]x[/math]-axis, while the values for the second sequence (starting with 0.41) are placed on the [math]y[/math]-axis. There's a point for every [math]n[/math].

Thewaytoreadthisplotisthefollowing.Ifforagivenn,thevaluesofthetwosequencesareequal,thenyouwillgetapointonthediagonal(representedwithadashedlineintheplot)the[math]x[/math]andthe[math]y[/math]coordinatesforthispointareequal.Ifthetwovaluesaresimilarbutnotequal,youllgetapointclosetothediagonalbutnotonit.Iftheyarecompletelydifferent,thepointwillbefarfromthediagonal.Asyoucansee,althoughthetwosequencesstartedfromdifferentinitialconditions,theybehavemoreandmorealikeasthenumberofstepsincreases:mostofthepointsontheplotareonorclosetothediagonal.(Note:Icoloredthepointswithalightershadeofredforsmall[math]n[/math]sothatthereddestpointsareforlatertimes)The way to read this plot is the following. If for a given n, the values of the two sequences are equal, then you will get a point on the diagonal (represented with a dashed line in the plot) -- the [math]x[/math] and the [math]y[/math] coordinates for this point are equal. If the two values are similar but not equal, you'll get a point close to the diagonal but not on it. If they are completely different, the point will be far from the diagonal. As you can see, although the two sequences started from different initial conditions, they behave more and more alike as the number of steps increases: most of the points on the plot are on or close to the diagonal. (Note: I colored the points with a lighter shade of red for small [math]n[/math] so that the reddest points are for later times)

Nowtakealookatwhathappenswhenr=3.7.Now take a look at what happens when r=3.7.

Svatý kámo! Body jsou všude! To znamená, že ačkoli jsme začínali se dvěma velmi podobnými počátečními podmínkami, dvě sekvence vypadají stejně. To je chaos.

Rozlišování chaosu od náhodnosti

Je vlastně netriviální rozlišovat náhodná čísla od náhodných čísel. Předpokládejme například, že následující je výsledek házení mincí (1 jsou hlavy, 0 jsou ocasy): [1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1] (to je čtrnáct). Vypadá to pro vás náhodně? Jsem si jistý, že tomu tak není. Přesto jsem přesně zjistil, že sekvence se objevuje dvakrát v deseti tisících hodech mincí generovaných pomocí generátoru pravých náhodných čísel (random.org). Stejných deset tisíc mincí také obsahuje sekvenci [1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0] dvakrát a [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] ( osmnáct nul) jednou. Tyto výskyty jsou samozřejmě vzácné (vzhledem k libovolné posloupnosti délky 14 byste očekávali, že se objeví v jednom z přibližně 16 000 losování), ale zároveň není žádným překvapením, že je zde vidíme, protože jsme použili 10000 vzorků k najít je. Jde však o to, že pokud vám někdo dá vzorky z náhodné sekvence, není o samotném vzorku nic, co by vám mohlo říci, zda původ vzorku byl náhodný proces, či nikoli.

Nyní porovnejte sekvence, které jsem ukázal výše, s tímto: [1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0] Tenhle vypadá více náhodně, že? No, byl generován pseudonáhodným generátorem na mém počítači, což znamená, že je skutečně vypočítáván deterministicky z dynamiky chaotického systému! To ukazuje, že je obtížné rozlišit „pravou“ náhodnost od toho, co získáte, když jednoduše neznáte přesný stav systému.

Nepředvídatelnost

Je důležité nezaměňovat náhodnost s nepředvídatelností. Náhodné chování nelze předvídat v přísném smyslu (člověk nemůže udělat dokonalé předpovědi), ale lze jej předvídat s vysokou mírou přesnosti (jako v případě náhodného procházení, o kterém jsem psal dříve). Naopak, nepředvídatelnost může být způsobena náhodností (jako neschopnost přesně předpovědět, kdy dojde k radioaktivnímu rozpadu), ale ve většině případů je to jednoduše kvůli naší neschopnosti měřit počáteční stav systému dostatečně přesně a dostatečně přesně jej sledovat. (jako v případě předpovědi počasí nebo pokusu předpovídat, kde kapka vody padne z vlny stříkající na břeh [to je příklad kvůli Feynmanovi, že teď nemůžu najít odkaz]).


Odpověď 2:

V odpovědi na tuto otázku existuje několik vynikajících popisů teorie chaosu a náhodnosti, ale možná by stálo za povšimnutí, že koncepční rámec teorie chaosu je nesmírně cenný v mnoha různých oborech; zejména v ekonomice a podnikání, to jsou oblasti, ve kterých musí stratégové mít určitou kontrolu nad složitou situací, kde je příliš mnoho vzájemně se ovlivňujících faktorů, aby bylo možné předpovídat výsledky.

Příroda je příkladem stratéga využívajícího koncepční rámec teorie chaosu k vytvoření optimálně účinných biologických systémů. Klíčem k účelnému využití teorie chaosu je pochopit, že se zabývá dynamickými systémy, které se skládají z velkého množství interakčních prvků. Takové systémy podléhají základním fyzikálním zákonům, které způsobují, že se vždy snaží usadit v ustáleném stavu (nejméně energie). Ačkoli tento ustálený stav není předvídatelný, lze jej udržovat v celé řadě variací v interakcích složek.

Teorie chaosu nám říká, že pokud interakce složek dosáhnou kritického prahu, systém se stane chaotickým a poté se ustálí do nového a odlišného ustáleného stavu. Příroda používá tento jev k vyvolání evolučního pokroku. Genetické variace mohou být v biologickém systému většinou tolerovány, ale genetická změna může stačit k tomu, aby biologický systém fungoval výrazně odlišně. To může být k lepšímu nebo k horšímu. Konkurence mezi biologickými systémy zajišťuje, že systémy, které se mění k lepšímu, jsou zachovány a jsou ztraceny nižší změny.

I když o teorii chaosu nemohou nic vědět, inteligentní ekonomové a podnikatelé si jsou tohoto jevu vědomi a když se systém nechová, jak by se chtěli chovat, provedou změny a převrátí jej do nového stavu. Musí být dostatečně stateční, aby zvládli následný krátkodobý chaos, který s tím souvisí, a musí být připraveni ukončit změny, pokud se situace dostane do horšího stavu, ale to je jediný způsob, jak se vypořádat a ovládat složité systémy. Škoda, že naši politici nejsou vyučováni v teorii chaosu.


Odpověď 3:

Možná v jistém základním smyslu není žádný rozdíl,

což znamená, že neexistuje žádná věc jako skutečná náhodnost v přírodě.

Možná existují pouze stupně náhodnosti, které určuje

stupeň entropie ve jevu. Problém je, že perfektní

náhodnost nemá žádný informační obsah a to,

samo o sobě jsou informace. Paradoxní druh.


Odpověď 4:

Možná v jistém základním smyslu není žádný rozdíl,

což znamená, že neexistuje žádná věc jako skutečná náhodnost v přírodě.

Možná existují pouze stupně náhodnosti, které určuje

stupeň entropie ve jevu. Problém je, že perfektní

náhodnost nemá žádný informační obsah a to,

samo o sobě jsou informace. Paradoxní druh.


Odpověď 5:

Možná v jistém základním smyslu není žádný rozdíl,

což znamená, že neexistuje žádná věc jako skutečná náhodnost v přírodě.

Možná existují pouze stupně náhodnosti, které určuje

stupeň entropie ve jevu. Problém je, že perfektní

náhodnost nemá žádný informační obsah a to,

samo o sobě jsou informace. Paradoxní druh.


Odpověď 6:

Možná v jistém základním smyslu není žádný rozdíl,

což znamená, že neexistuje žádná věc jako skutečná náhodnost v přírodě.

Možná existují pouze stupně náhodnosti, které určuje

stupeň entropie ve jevu. Problém je, že perfektní

náhodnost nemá žádný informační obsah a to,

samo o sobě jsou informace. Paradoxní druh.


Odpověď 7:

Možná v jistém základním smyslu není žádný rozdíl,

což znamená, že neexistuje žádná věc jako skutečná náhodnost v přírodě.

Možná existují pouze stupně náhodnosti, které určuje

stupeň entropie ve jevu. Problém je, že perfektní

náhodnost nemá žádný informační obsah a to,

samo o sobě jsou informace. Paradoxní druh.


Odpověď 8:

Možná v jistém základním smyslu není žádný rozdíl,

což znamená, že neexistuje žádná věc jako skutečná náhodnost v přírodě.

Možná existují pouze stupně náhodnosti, které určuje

stupeň entropie ve jevu. Problém je, že perfektní

náhodnost nemá žádný informační obsah a to,

samo o sobě jsou informace. Paradoxní druh.


Odpověď 9:

Možná v jistém základním smyslu není žádný rozdíl,

což znamená, že neexistuje žádná věc jako skutečná náhodnost v přírodě.

Možná existují pouze stupně náhodnosti, které určuje

stupeň entropie ve jevu. Problém je, že perfektní

náhodnost nemá žádný informační obsah a to,

samo o sobě jsou informace. Paradoxní druh.


Odpověď 10:

Možná v jistém základním smyslu není žádný rozdíl,

což znamená, že neexistuje žádná věc jako skutečná náhodnost v přírodě.

Možná existují pouze stupně náhodnosti, které určuje

stupeň entropie ve jevu. Problém je, že perfektní

náhodnost nemá žádný informační obsah a to,

samo o sobě jsou informace. Paradoxní druh.


Odpověď 11:

Možná v jistém základním smyslu není žádný rozdíl,

což znamená, že neexistuje žádná věc jako skutečná náhodnost v přírodě.

Možná existují pouze stupně náhodnosti, které určuje

stupeň entropie ve jevu. Problém je, že perfektní

náhodnost nemá žádný informační obsah a to,

samo o sobě jsou informace. Paradoxní druh.


Odpověď 12:

Možná v jistém základním smyslu není žádný rozdíl,

což znamená, že neexistuje žádná věc jako skutečná náhodnost v přírodě.

Možná existují pouze stupně náhodnosti, které určuje

stupeň entropie ve jevu. Problém je, že perfektní

náhodnost nemá žádný informační obsah a to,

samo o sobě jsou informace. Paradoxní druh.


Odpověď 13:

Možná v jistém základním smyslu není žádný rozdíl,

což znamená, že neexistuje žádná věc jako skutečná náhodnost v přírodě.

Možná existují pouze stupně náhodnosti, které určuje

stupeň entropie ve jevu. Problém je, že perfektní

náhodnost nemá žádný informační obsah a to,

samo o sobě jsou informace. Paradoxní druh.