Jak píšete 85 jako rozdíl mezi dvěma čtverci?


Odpověď 1:

Budu řešit tento druh vědy, ne matematický styl.

Možná nejjednodušší způsob, jak najít rychlou levnou odpověď, je všimnout si vzoru v následných čtvercích:

2212=41=32^2 - 1^2 = 4–1 = 3

3222=94=53^2 - 2^2 = 9–4 = 5

4232=169=74^2 - 3^2 = 16–9 = 7

To je zajímavé. Liší se po sobě následující čtverce po sobě jdoucími lichými čísly? Zkusme vyrobit model:

Proč se rozdíly mezi po sobě následujícími čtverci shodují se sekvencí lichých čísel ?, na Math Stack Exchange.

Dobře, dívám se na oranžové tvary „L“. To by mohl být dobrý model. Vyplatí se rozdrcení algebry, která pomůže zjistit. Uvidíme, jestli najdeme vzorec pro rozdíl po sobě následujících čtverců:

n2(n1)2=n2n2+2n1=2n1n^2 - (n-1)^2 = n^2 -n^2 +2n-1 = 2n-1

To jo. Z matematiky tedy můžeme ukázat, že po sobě jdoucí čtverce se liší podle po sobě jdoucích lichých čísel. Nepotřebovali jsme data a model. Huh.

Každopádně teď musíme vyřešit

2n1=85.2n-1 = 85.

n=43.n = 43.

Tak

432422=85. 43^2 - 42^2 = 85.

Uh ... lemme vyskočí kalkulačku.

No jo, to je pravda. (Poprvé jsem dostal n = 42, ale kalkulačka mě zachránila a svou odpověď jsem upravil.)

Vsadím se, že to není jediná odpověď. Je to jen jednoduchý způsob, jak najít jednu odpověď.


Odpověď 2:

Předpokládejme, že máte kladná celá čísla A, B taková, že

A2B2=85A^2 - B^2 = 85

.

Faktoring rozdíl čtverců:

A2B2=(A+B)(AB)=85A^2-B^2 = (A+B)(A-B)=85

Máme to

A>BA>B

a máme to

A+B=MA+B = M

AB=NA-B = N

kde

MN=85MN = 85

a

M>NM>N

. 85 lze faktorovat pouze jako 85 * 1 a 17 * 5.

2A=M+N2A = M+N

a

2B=MN2B = M-N

, tak

M+NM+N

a

MNM-N

musí být sudé, k čemuž dochází pouze tehdy, když jsou M a N sudé nebo oba liché.

Zobecnění: Pokud by „85“ bylo nějaké jiné číslo, pak aby rovnice měla řešení pro celé číslo, „85“ by muselo být liché (takže M a N jsou obě liché) nebo „85“ by muselo být dělitelné 4 (takže M a N mohou být vybrány jako sudé). Pokud by bylo „85“ dělitelné 4, pak by M a N musely být oba faktory „85“.


Odpověď 3:

Pravděpodobně existuje několik způsobů, jak tyto typy problémů vyřešit, ale myslím si, že následující je nejpřímější.

Předpokládáme, že existuje celé číslo řešení a uvidíme, kam nás to zavede.

Předpokládejme, že dvě pole jsou aab. Pak můžeme napsat: (v následujících 2 znamená na druhou)

a2 - b2 = 85

Levou stranu můžeme faktorovat jako (ab) (a + b), takže

(ab) (a + b) = 85

Nyní hledáme faktory 85. Protože číslo končí 5, je dělitelné 5. Toto dává 5 * 17. Jedná se o prvočísla, takže neexistují žádné další faktory. Kromě (1 * 85).

Takže: (ab) (a + b) = 5 * 17

Můžeme tedy předpokládat: (ab) = 5 (a + b) = 17

Sečtením těchto hodnot do eliminátu b získáte: 2a = 22, a a 11

Takže 11-b = 5 dává b = 6

Takže a = 11 ab = 6

Test: 11 na druhou = 121, 6 na druhou = 36,121 - 36 = 85

Zkusme druhou možnost (1 * 85) :( ab) (a + b) = 1 * 85. (Ab) = 1, (a + b) = 85To dává 2a = 86, takže a = 43 ab = 42

Takže existují přesně dvě řešení: (1) a = 11 a b = 6 (2) a = 43 a b = 42